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R语言编程数学分析重读微积分理解极限算法

R语言 2021-12-12

1 状态变化

若将数学整体划分为三类,则可概括为代数、几何与分析。对于前两者,我们很早就建立了直观的概念,对于空间结构及其性质的研究,即为几何;以数为核心的研究领域,即为代数。

而分析则具备更多的非数学的内涵,所以初学者往往难以看透数学分析所指向的数学本质,如果望文生义,会更倾向于将“分析”理解为一门数学技巧,而非数学领域。

我们最先接触数学分析时,是将其等同为微积分的。可以认为微积分是数学分析最基本的知识对象,而微积分的理论基础建立在极限之上。所以,我们可以将极限作为分析学的根基,为此,需要去理解极限的本质,而极限本身则是一个动态的过程,例如下面这个重要极限

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画图方法有很多,在此使用R语言,在RStudio中画出,之所以用RStudio,是因为其界面对初学者来说更友好。输入

> x = c(1:100)				#定义x为1到100的数组
> y = x*sin(1/x)
> plot(x,y,type='l',xlab='x',ylab='y=x·sin(1/x)')	#画图

得到

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可以非常清晰地看到,当x逐渐变大的时候,y是趋于1的。这个趋势可以让我们更加容易理解:极限是一种动态过程;同时有助于形成对分析学的更加直观的印象——分析是建立在状态变化上的一种动态的数学。

一旦建立了这种动态的思维,就会发现原本安定本分的数学世界也发生了微妙的变化,例如,我们又将如何理解1这个整数。

例如无限循环小数0.999...=1这个反直觉的等式是否严格。在初等的观点看来,可以很容易得到 10 × 0.999... = 9.999... → ( 10 ? 1 ) ? 0.999... = 9 → 0.999... = 1 。

进而敏锐地发现,若用一种不厌其烦的方式去求解分式1 \1,会更加自然地得到0.999...

但无论如何,0.999...=1是反直觉的,反来自于初等数学的直觉。换句话说,初等数学的直觉存在矛盾,我们需要一个更加严格的有关极限的定义和表示,尤其需要建立一种可以称之为相等的映射关系。

2 极限语言

初学数学分析的时候,很多人包括我在内,都对 ε ? N深恶痛绝,更妙的是,不理解这种表达方式,对做题似乎影响不大。大部分人通过加深对上面的那三个约定(以及更多约定)的记忆来完成解题,从而避免了加深对数学对象的理解。

其实这个语句并不难理解,当我们最开始接触无穷大这个概念的时候,是在描述自然数的个数。那时我们常说的可能是,无论你举出一个多么大的自然数,我都能举出一个更大的数,所以自然数是无穷的。

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> x = c(10:100)
> y = 1-x*sin(1/x)
> > plot(x,y,type='l',xlab='x',ylab='y=1-x·sin(1/x)')

其图像为

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3 序列与函数

若从映射的角度去考察序列与函数,则二者最大的区别是定义域。序列是定义域为正整数的特殊函数。相比之下,微积分中大多名之为函数的映射,都定义在实数域上。从而在函数的定义域中,随便抽选出一个区间,其元素个数都是无穷多的。即对于区间 [ a , b ]而言,只要 a =? b ,则区间中的元素个数就是无穷多个。

好在我们有了极限的概念,极限在 ε ? N意义上重新定义了相等,从而意味着每一个实数都包含了无穷多种初等的表示,即 1 = 0.999...0 = 0.999...1 = 0.999... n , n 1=0.999...0=0.999...1=0.999...n,n为任意长度的数串,中间的无穷多位,导致末位信息在变得毫无意义,乃至于根本不存在最后一位。

这时我们会异想天开地希望建立整数与实数的对应关系,例如将整数环映射到区间 [ ? 1 , 1 ] 内,这个区间也会出现实数区间的性质,即任意一个长度大于一的子区间,存在无穷多个元素。但众所周知,实数的个数是比整数更高的无穷,也就是说实数区间 [ ? 1 , 1 ] 的元素个数是远多于整数的。

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当然,我们此后会接触更多的让人摸不着头脑的函数,这些函数过于奇葩,以至于上面的这些似乎完全不适用呢。。。

4 极限常数

圆周率 π

历史上很早就产生了极限思想,而割圆术就是这种思想的绝佳体现。

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N = c(3:100)
Pi = N*sin(pi/N)
plot(N,Pi,type='l',xlab='N',ylab='Pi')

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由于到了后面,误差变得越来越小,所以用对数来看一下误差的变化

N = c(3:10000)
err =log(pi-N*sin(pi/N),10)
plot(N,err,type='l',xlab='N',ylab='err')

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可见割到了正10000边形,也只能得到 1 0 ? 7 10^{-7} 10?7的精度,通过计算可以得到正10000边形算出的圆周率约为3.14159260,所以我们至今也无法知道祖冲之他老人家到底是怎么得到的。

options(digits=15)
10000*sin(pi/10000)
[1] 3.14159260191267

圆周率的这种定义其实也提供了一个重要极限,即

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自然对数e

很多人喜欢把自然对数和复利计算联系在一起。

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问题来了,是不是随着 n n n逐渐增大,一年的收获会越来越多呢?

为了计算方便,假设 x = 1 ,即正常 W 存一年,一年之后本息翻倍为2W。

结果发现

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最终这个值趋近于一个常数,这个常数就定义为 e,看来一年最多翻e倍,这个方法没办法发财了。但至少明白了一个著名的极限

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很合理。

欧拉常数 γ

对 e两侧以 e为底取对数,可得

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是一个常数:

N = c(1:10000)
for(i in c(1:0000)){
    H[i]=sum(1/N[0:i])
}
plot(N,gamma,type='l',xlab='N',ylab='gamma')
gamma[10000]
[1] 0.577265664068198

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我们猜对了,这个常数即欧拉常数。

其证明过程也不复杂

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5 洛必达法则

令 N 为常数,则常规的极限运算大致有以下几种

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所以,尽管二者都为0,但0和0也有不同。问题是这种不同是否明显?如果定义域在 [ ? 1 , 1 ] 这个区间,的确看不出太多的区别

x = seq(-1,1,0.01)  #生成等差数列
plot(x,x^2,type='l')
lines(x,x^3)
lines(x,x^4)
lines(x,x^5)
lines(x,x^6)

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然而随着坐标尺度的缩小,区别变得明显起来

> x = seq(-0.1,0.1,0.001)
> plot(x,x^2,type='l')
> lines(x,x^3)

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这意味着越是逼近0,不同阶数的幂函数将渐行渐远,回顾极限的定义,对于

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受到这种运算形式的启发,对于一个相对复杂的表达式,或许可以对上式进行一点更改

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可以画图验证一下二者在趋近于0时的特性

x = seq(-0.01,0.01,0.001)
plot(x,x,ylab="x/sin(x)")
lines(x,sin(x),col='red')

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由于实在靠的太近,所以用差的对数来表示一下

x = seq(-0.1,0.1,0.001)
err = log(abs(x-sin(x)),10)
plot(x,err,type='l')

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可见这个收敛速度是很快的,当 x = 0.001时,二者之间的差就已经达到了 10^ -9

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